Khôlle M01 [Terminée]

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    Khôlle M01 [Terminée]

    Message  ksitov le Jeu 24 Juin - 22:44

    Bienvenue à ta première Khôlle de mathématiques niveau 1ère S.

    Voici l'énoncé:

    Une parabole d'équation: y = ax² + bx + c admet une tangente horizontale au point (-1;3) et passe par le point (1;1).

    Déterminer les coefficients a , b et c.

    Travailles bien !


    Dernière édition par Ksitov le Mar 29 Juin - 17:41, édité 1 fois

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    Re: Khôlle M01 [Terminée]

    Message  Physikaddict le Jeu 24 Juin - 23:34

    Ah !

    Content de cette première Khôlle, très sympathique ! :D

    On inaugure en beauté Wink

    Alors, tout d'abord, la parbole passe par (1;1) donc
    ax² + bx + c = 1 pour x = 1

    D'où a+b+c = 1

    Ensuite... Attaquons-nous à la tangente !
    L'équation de la tangente T :

    T : y = f'(a) (x-a) + f(a)

    T : y = f'(a)x - af'(a) + f(a)

    f'(a) est le coeff directeur, une tangente horizontale équivaut à un coeff nul d'où f'(-1) = 0.

    Donc T : y = -af'(a) + f(a) soit T : y = f(a)

    Or, la tangente passe par (-1;3) donc T : y = 3

    D'où f(-1) = 3

    On a alors a - b + c = 3

    a + c = b + 3

    On remplace dans l'égalité du début Wink

    3 + b + b = 1

    2b = -2

    b = -1

    Et de un ! =D

    Ensuite, penchons-nous sur la signification d'une tangente horizontale en un point w sur une parabole... Cela signifie tout simplement que w est le sommet de la parabole ! =)

    Or, l'abscisse du sommet d'une parabole se retrouve avec -b/(2a)

    Donc -b/(2a) = -1
    1/(2a) = -1
    -2a = 1
    Ce qui nous amène à a = -1/2

    Et de deux ! =)

    Enfin on savait que a + c = 3 + b, soit a+c = 2

    Donc en remplaçant a par sa valeur fraichement trouvée, on obtient c = 5/2

    Et de trois ! Mission accomplie ! =))

    a = -1/2
    b = -1
    c = 5/2

    Merci Mickaël, géniale cette khôlle ! Wink

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    Re: Khôlle M01 [Terminée]

    Message  Physikaddict le Jeu 24 Juin - 23:37

    Oui, tout le blabla sur l'équation de la tangente, on va dire que c'est pour la déco ! Wink

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    Re: Khôlle M01 [Terminée]

    Message  ksitov le Ven 25 Juin - 0:08

    Physikaddict a écrit:
    Ensuite, penchons-nous sur la signification d'une tangente horizontale en un point w sur une parabole... Cela signifie tout simplement que w est le sommet de la parabole ! =)

    Or, l'abscisse du sommet d'une parabole se retrouve avec -b/(2a)

    Bon tu as bien réussi l'exercice.

    Cependant, tu as dis ce que j'ai cité.

    Donc maintenant, je te demande de:

    Démontrer que si la tangente à un point de la parabole est horizontale alors ce point est le sommet de la parabole.

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    Re: Khôlle M01 [Terminée]

    Message  Physikaddict le Ven 25 Juin - 14:02

    Il est effectivement tout à fait incorrect de ne pas l'avoir démontré.

    Mais je croyais que c'était admis ( lol! ). On va rebaptiser ceci le théorème de Physikaddict !

    Alors, voici la démo :

    La dérivée d'une fonction représentée par une parabole d'équation y = ax² + bx + c est f'(x) = 2ax + b

    La tangente à la parabole sera horizontale uniquement si son coeff directeur est nul, c'est à dire si f'(x) = 0

    Résolvons cette petite équation :

    2ax + b = 0
    2ax = -b
    x = -b /(2a)

    Donc la tangente est horizontale uniquement au point d'abscisse -b /(2a), ce qui correspond à l'abscisse du sommet de la parabole.

    Donc, si la tangente à une parabole est horizontale en point w, alors ce point w est le sommet de la parabole. Et inversement !

    =)

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    Re: Khôlle M01 [Terminée]

    Message  ksitov le Ven 25 Juin - 14:11

    Bon boulot.

    Cependant pour être rigoureux en calculant f'(x), tu as oublié de montrer que la fonction est dérivable mais cette fois ci, je laisse passer !

    Khôlle M01 Terminée !

    (A partir de maintenant, vous pouvez commenter la Khôlle)

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    Re: Khôlle M01 [Terminée]

    Message  Physikaddict le Ven 25 Juin - 14:27

    Effectivement ! F dérivable sur IR (...). Wink

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    Re: Khôlle M01 [Terminée]

    Message  ksitov le Ven 25 Juin - 14:57

    F est dérivable sur |R comme fonction polynôme dérivable sur |R (x--> ax² + bx + c)

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    Re: Khôlle M01 [Terminée]

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