Exercice : trigonométrie et exponentielles

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    Ouille
    Molécule

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    Exercice : trigonométrie et exponentielles

    Message  Ouille le Ven 1 Juil - 23:06

    Bonjour,

    Lavoisier m'a rappelé que je lui devais un exercice de trigonométrie, le voici. Cependant, mis à part la dernière partie, cet exercice n'a pas de vrai "but" : il est plutôt là pour aider à apprendre des formules de trigonométrie et à connaître leurs démonstrations.

    Partie I : démonstrations d'analyse

    1) Soient x une variable réelle et y une constante réelle. Montrer que exp(x) exp(y) = exp(x+y) (sans utiliser les puissances, bien entendu). On admettra par la suite que pour tout couple de complexes (z,z') on a exp(z) exp(z') = exp(z+z').
    2) En déduire une démonstration de la formule de De Moivre.
    3) Démontre le binôme de Newton.

    Partie II : démonstrations relatives aux fonctions trigonométriques

    Sous-partie 1 : démonstrations de formules usuelles

    1) On admet que pour tout réel a, exp(ia) = cos a + i sin a. Démontrer les formules d'Euler.
    2) Démontrer que pour tout couple de réels (a,b), on a cos(a+b) = cos a cos b - sin a sin b et que sin(a+b) = sin a cos b + sin b cos a.
    3) En déduire des égalités pour cos 2a et sin 2a.
    4) Démontrer que pour tout couple de réels (a,b), on a cos(a-b) = cos a cos b + sin a sin b et que sin(a-b) = sin a cos b - sin b cos a.
    5) En déduire une égalité en fonction de cos(a+b), cos(a-b) et cos a cos b, puis une égalité en fonction de cos(a+b), cos(a-b) et sin a sin b.

    Sous-partie 2 : étude de fonctions par analogie.

    1) Montrer par analogie aux exponentielles que cos(x+2pi) = cos x et que sin(x+2pi) = sin x. En déduire que pour tout entier relatif k, cos(x+2kpi) = cos x et que sin(x+2kpi) = sin x.
    2) Montrer par analogie aux exponentielles que sin x = cos(x+pi/2).
    3) Montrer par analogie aux exponentielles que cos²x + sin²x = 1.
    4) Montrer que sin(pi/2-x) = cos x. En déduire les solutions de l'équation sin x = cos x.

    Partie III : applications

    1) Linéariser cos^4(x). En déduire, pour tout entier naturel n, la linéarisation de cos^(4n)(x).
    2) Linéariser cos^n(x).
    3) Montrer que . Montrer que la limite de existe, et la conjecturer.
    4) Soient a et b deux réels tels que a et b soient différents. Montrer que .
    5) En déduire que . Peut-on déduire de cette intégrale que pour tout x non-multiple de pi/2, ? Démontrer cette propriété.

    Il peut y avoir plusieurs heures de réflexion ! Bon courage à toi, et aux autres qui veulent s'y essayer. Smile


    Dernière édition par Ouille le Mer 6 Juil - 21:03, édité 1 fois

    ksitov
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    Re: Exercice : trigonométrie et exponentielles

    Message  ksitov le Sam 2 Juil - 15:55

    Bonjour,

    Je propose une démonstration pour la toute première question:

    Spoiler:
    Ici: f(x) = e^x

    On admet que: f'(x)=f(x) et f(0) = 1 (Propriétés fondamentales de l'exponentielle).

    1) On considère la fonction g de R sur R tel que g(x) = f(x+y)*f(-x) où y est un réel.

    g est dérivable sur R comme composée et produit de fonctions dérivables sur R.

    g'(x) = f(x+y)f(-x) - f(x+y)f(-x) = 0

    g est donc constante sur R. De plus g(0)= f(y).

    On a donc: f(x+y)*f(-x)=f(y)

    <=> f(y-x) = f(a)/f(x)

    Pour a = 0 on a: f(-x) = 1/f(x)

    D'où: f(x+y) = f(y)/f(-x) = f(y)f(x)

    CQFD

    J'ai édité et j'ai fais la question 2 également.

    Spoiler:
    e^x * e^x * ... * e^x = (e^x)^n (n fois pour le produit) où n est un entier naturel.

    D'après 1) Pour tout (x,y) appartient à R² on a:
    e^(x+y) = e^(x)e^(y)

    Donc: e^x * ... * e^x = e^(x+...+x) = e^(nx) (n fois pour la somme).

    Donc: e^(nx) = (e^(x))^n (*)

    Par définition: e^(ia) = cos(a) + isin(a)

    On pose: a = nx: e^(inx) = cos(nx) + isin(nx)

    D'après (*), on a: e^(inx) = (e^(ix))^n

    D'où: cos(nx)+isin(nx) = (cos(x)+isin(x))^n (Formule de Moivre)

    CQFD


    majorana
    Molécule

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    Re: Exercice : trigonométrie et exponentielles

    Message  majorana le Mar 5 Juil - 14:17

    Spoler, c'est un peu la fonction chuck norris de x non bounce ? Laughing

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    Re: Exercice : trigonométrie et exponentielles

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