Exercice: Intégrale Double

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    ksitov
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    Exercice: Intégrale Double

    Message  ksitov le Sam 2 Juil - 16:28

    Bonjour,

    Voici un exercice bien sympathique sur les intégrales.
    On utilise les intégrales double pour calculer une intégrale simple appelée: Intégrale de Gauss.



    Bonne chance Wink !


    Ouille
    Molécule

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    Re: Exercice: Intégrale Double

    Message  Ouille le Dim 3 Juil - 18:54

    Spoiler:
    1) Je suppose qu'on utilise une intégration par parties, mais je ne sais pas comment la faire sur une double intégrale (j'imagine bien qu'une primitive de 1 soit kx+(1-k)y mais c'est de l'instinct)
    2) On utilise une simple inégalité pythagoricienne : d'un côté, a > rac(x²+y²) pour Ia et de l'autre côté, a*rac(2) > rac(x²+y²) pour Ja et pour Ia*rac(2).
    3) Théorème des gendarmes, je suppose : on pose X = rac(x²+y²), puis on fait tendre X vers plus l'infini, ce qui provoque que Ia = Ja (si X tend vers plus l'infini, a tend vers plus l'infini donc Ia et Ja représentent au final la même intégrale).
    Aucune rigueur, dans ce que je fais, mais j'en ai pas les moyens et je voulais pas que ce post soit laissé sans réponse. :D

    ksitov
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    Re: Exercice: Intégrale Double

    Message  ksitov le Dim 3 Juil - 19:03

    ksitov a écrit:Bonjour,

    Voici un exercice bien sympathique sur les intégrales.
    On utilise les intégrales double pour calculer une intégrale simple appelée: Intégrale de Gauss.



    Bonne chance Wink !


    Dans la question 1), on veut calculer Ia.

    Déjà, on va se demander qu'est ce qu'est l'ensemble Da.

    C'est un disque de rayon a. (car x²+y² = a² est un cercle de rayon a et comme là on veut x²+y² < a² alors c'est un disque).

    Donc ça, ça va être utile pour les bornes.

    Ensuite, on a: f(x,y) = e^(-x²-y²)

    Une technique qu'on utilise de temps en temps avec les intégrales doubles est le passage en polaire.
    On pose: x = rcos(teta) et y = rsin(teta).

    Donc on a: f(rcos(teta),rsin(teta)) = e^(-r²)

    Donc l'intégrale double va devenir:

    Intégrale double de e^(-r²)*r*dr*d(teta)

    Car le dxdy en polaire devient rdrd(teta).

    Puis bon ensuite on trouve les bornes en utilisant le domaine. Et puis on calcule.

    Bref... Il faut un niveau sup pour faire ça. (c'est juste la méthode qui manque sinon c'est pas très dur).

    Mais c'est bien d'avoir tenté Wink !

    Et pour la 3, tu as raison Wink ! On va finir par utiliser le théorème des gendarmes.

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    Re: Exercice: Intégrale Double

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