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3 participants

    Exercice : trigonométrie et exponentielles

    Ouille
    Ouille
    Molécule


    Messages : 30
    Date d'inscription : 26/06/2011

    Exercice : trigonométrie et exponentielles Empty Exercice : trigonométrie et exponentielles

    Message  Ouille Ven 1 Juil - 23:06

    Bonjour,

    Lavoisier m'a rappelé que je lui devais un exercice de trigonométrie, le voici. Cependant, mis à part la dernière partie, cet exercice n'a pas de vrai "but" : il est plutôt là pour aider à apprendre des formules de trigonométrie et à connaître leurs démonstrations.

    Partie I : démonstrations d'analyse

    1) Soient x une variable réelle et y une constante réelle. Montrer que exp(x) exp(y) = exp(x+y) (sans utiliser les puissances, bien entendu). On admettra par la suite que pour tout couple de complexes (z,z') on a exp(z) exp(z') = exp(z+z').
    2) En déduire une démonstration de la formule de De Moivre.
    3) Démontre le binôme de Newton.

    Partie II : démonstrations relatives aux fonctions trigonométriques

    Sous-partie 1 : démonstrations de formules usuelles

    1) On admet que pour tout réel a, exp(ia) = cos a + i sin a. Démontrer les formules d'Euler.
    2) Démontrer que pour tout couple de réels (a,b), on a cos(a+b) = cos a cos b - sin a sin b et que sin(a+b) = sin a cos b + sin b cos a.
    3) En déduire des égalités pour cos 2a et sin 2a.
    4) Démontrer que pour tout couple de réels (a,b), on a cos(a-b) = cos a cos b + sin a sin b et que sin(a-b) = sin a cos b - sin b cos a.
    5) En déduire une égalité en fonction de cos(a+b), cos(a-b) et cos a cos b, puis une égalité en fonction de cos(a+b), cos(a-b) et sin a sin b.

    Sous-partie 2 : étude de fonctions par analogie.

    1) Montrer par analogie aux exponentielles que cos(x+2pi) = cos x et que sin(x+2pi) = sin x. En déduire que pour tout entier relatif k, cos(x+2kpi) = cos x et que sin(x+2kpi) = sin x.
    2) Montrer par analogie aux exponentielles que sin x = cos(x+pi/2).
    3) Montrer par analogie aux exponentielles que cos²x + sin²x = 1.
    4) Montrer que sin(pi/2-x) = cos x. En déduire les solutions de l'équation sin x = cos x.

    Partie III : applications

    1) Linéariser cos^4(x). En déduire, pour tout entier naturel n, la linéarisation de cos^(4n)(x).
    2) Linéariser cos^n(x).
    3) Montrer que Exercice : trigonométrie et exponentielles Ile_te10. Montrer que la limite de Exercice : trigonométrie et exponentielles Ile_te11 existe, et la conjecturer.
    4) Soient a et b deux réels tels que a et b soient différents. Montrer que Exercice : trigonométrie et exponentielles Ile_te12.
    5) En déduire que Exercice : trigonométrie et exponentielles Ile_te13. Peut-on déduire de cette intégrale que pour tout x non-multiple de pi/2, Exercice : trigonométrie et exponentielles Ile_te14 ? Démontrer cette propriété.

    Il peut y avoir plusieurs heures de réflexion ! Bon courage à toi, et aux autres qui veulent s'y essayer. Smile


    Dernière édition par Ouille le Mer 6 Juil - 21:03, édité 1 fois
    ksitov
    ksitov
    Admin


    Messages : 294
    Date d'inscription : 14/06/2010
    Age : 31
    Localisation : Ajaccio

    Exercice : trigonométrie et exponentielles Empty Re: Exercice : trigonométrie et exponentielles

    Message  ksitov Sam 2 Juil - 15:55

    Bonjour,

    Je propose une démonstration pour la toute première question:

    Spoiler:

    J'ai édité et j'ai fais la question 2 également.

    Spoiler:

    avatar
    majorana
    Molécule


    Messages : 11
    Date d'inscription : 19/06/2011

    Exercice : trigonométrie et exponentielles Empty Re: Exercice : trigonométrie et exponentielles

    Message  majorana Mar 5 Juil - 14:17

    Spoler, c'est un peu la fonction chuck norris de x non bounce ? Laughing

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    Exercice : trigonométrie et exponentielles Empty Re: Exercice : trigonométrie et exponentielles

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