Exercice du mois (juin 2010)

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    ksitov
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    Exercice du mois (juin 2010)

    Message  ksitov le Dim 27 Juin - 17:32

    Exercice de la semaine M01

    Introduction:

    C'est un exercice que j'ai eu en devoir maison en Terminale S mais cependant, on peut le faire avec des outils de 1ère S. Il est basé sur l'étude d'une nouvelle fonction, l'arctangente.

    Nous admettons qu'il existe une fonction f, définie et dérivable sur R, et vérifiant f(0) = 0 et, pour tout réel x
    f'(x) = 1/(1+x²)

    1- Parité

    a) Montrer que la fonction g(x) = f(x) + f(-x) est dérivable sur R et calculer sa dérivée.

    b) Calculer g(0). En déduire que la fonction f est impaire.

    2- Limite de f en +oo

    a) Montrer que h(x) = f(x) + f(1/x) est dérivable sur ]0;+oo[ et calculer sa dérivée.

    b)En déduire qu'il existe une constante c telle que, pour tout x>0, on ait f(x) = c - f(1/x) (relation 1)

    c) A l'aide de la relation (1), prouver que lim f(x) = c , en +oo

    3) On considère la fonction u, définie sur ]-pi/2 ; pi/2[ par u(x) = tan x

    a) Montrer que la fonction z(x) = f o u(x)-x est dérivable sur ]-pi/2 ; pi/2[ et calculer sa dérivée.

    b) Calculer z(0). En déduire que pour tout x appartient à ]-pi/2 ; pi/2[ on a f(tan x) = x

    c) Calculer les valeurs exactes f(1), f(V3), f(1/V3) ainsi que la valeur exacte de la constante c.

    4) a) Etudier le sens de variation de f sur [0;+oo[ et dresser le tableau de variation.

    b) Tracer Cf (en précisant les asymptotes et la tangente à l'origine).

    Information supplémentaire:

    La fonction f du problème ci-dessus est la fonction arctangente, cette appellation est justifiée par l'égalité f(tan x ) = x

    La relation arctan x = Pi/4 reste la relation de base permettant d'obtenir des valeurs approchées de pi, depuis la célèbre "égalité" de Leibnitz (1673): pi/4 = arctan 1 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 -...

    Bonne chance à tous !


    Dernière édition par ksitov le Dim 4 Juil - 0:17, édité 1 fois

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    Re: Exercice du mois (juin 2010)

    Message  Lavoisier le Lun 28 Juin - 9:08

    On gagne quoi si on le résout ? Laughing
    Le problème, c'est que faudrait en mettre un niveau collège pour les ptits jeunes Wink

    ksitov
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    Re: Exercice du mois (juin 2010)

    Message  ksitov le Lun 28 Juin - 11:23

    Les petits jeunes? Je n'en vois qu'un...

    Tu le vois beaucoup participer à la vie du forum?

    Non... J'en déduis que la majorité des membres sont en 1ère S et passent en Terminale S, donc je met un exercice de ce niveau Wink!

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    Re: Exercice du mois (juin 2010)

    Message  ksitov le Mar 29 Juin - 2:28

    Personne ne se lance? Allez ! Je me lance !

    1)

    a) On considère la fonction g(x) = f(x) + f(-x)

    La fonction x--> -x est dérivable sur R, donc la fonction f(-x), composée de deux fonctions dérivables sur R, est dérivable sur R. La fonction g somme de deux fonctions dérivables sur R (x--> f(x) et x --> f(-x) ) est dérivable sur R.

    Pour tout x appartient à R on a:

    g'(x) = f'(x) - f'(-x)

    Pour tout x appartient à R on a:

    f'(x) = 1/(1+(-x)²) = 1/(1+x²) = f(x)

    D'où pour tout x appartient à R on a:

    g'(x) = f'(x) - f'(x) = 0

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    Re: Exercice du mois (juin 2010)

    Message  ksitov le Jeu 1 Juil - 13:41

    b)

    g(x) = f(x) + f(-x)

    => g(0) = f(0) + f(-0)

    On sait d'après l'énoncé que f(0) = 0

    => g(0) = 0

    D'après la question précédente, g'(x) = 0

    Ce qui signifie que g est une constante.

    => g(x) = g(0) = 0

    => f(x) + f(-x) = 0

    => f(x) = - f(-x)

    Cela prouve donc que f est impaire pour tout x appartient à R.

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    Re: Exercice du mois (juin 2010)

    Message  Lavoisier le Jeu 1 Juil - 14:16

    Tu résouds ton propre exercice ? Laughing Razz

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    Re: Exercice du mois (juin 2010)

    Message  Physikaddict le Ven 2 Juil - 12:39

    2.

    La fonction inverse est définie et dérivable sur ]0 ; + l'infini[ donc la fonction h, somme de deux fonctions définies et dérivables sur cet intervalle, l'est aussi.

    f'(-x) = 1/(1+(1/x)²) = x² / (x²+1)

    D'où h'(x)= (x²+1)/(x²+1) = 1

    Enfin, je suis pas sur. Je sens pas cet exo. Razz

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    Re: Exercice du mois (juin 2010)

    Message  ksitov le Dim 4 Juil - 0:17

    Bon bah... ça n'a attiré presque personne tant pis !

    Le prochain exo sera + court !

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    Re: Exercice du mois (juin 2010)

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