Exercice de la semaine M01
Introduction:
C'est un exercice que j'ai eu en devoir maison en Terminale S mais cependant, on peut le faire avec des outils de 1ère S. Il est basé sur l'étude d'une nouvelle fonction, l'arctangente.
Nous admettons qu'il existe une fonction f, définie et dérivable sur R, et vérifiant f(0) = 0 et, pour tout réel x
f'(x) = 1/(1+x²)
1- Parité
a) Montrer que la fonction g(x) = f(x) + f(-x) est dérivable sur R et calculer sa dérivée.
b) Calculer g(0). En déduire que la fonction f est impaire.
2- Limite de f en +oo
a) Montrer que h(x) = f(x) + f(1/x) est dérivable sur ]0;+oo[ et calculer sa dérivée.
b)En déduire qu'il existe une constante c telle que, pour tout x>0, on ait f(x) = c - f(1/x) (relation 1)
c) A l'aide de la relation (1), prouver que lim f(x) = c , en +oo
3) On considère la fonction u, définie sur ]-pi/2 ; pi/2[ par u(x) = tan x
a) Montrer que la fonction z(x) = f o u(x)-x est dérivable sur ]-pi/2 ; pi/2[ et calculer sa dérivée.
b) Calculer z(0). En déduire que pour tout x appartient à ]-pi/2 ; pi/2[ on a f(tan x) = x
c) Calculer les valeurs exactes f(1), f(V3), f(1/V3) ainsi que la valeur exacte de la constante c.
4) a) Etudier le sens de variation de f sur [0;+oo[ et dresser le tableau de variation.
b) Tracer Cf (en précisant les asymptotes et la tangente à l'origine).
Information supplémentaire:
La fonction f du problème ci-dessus est la fonction arctangente, cette appellation est justifiée par l'égalité f(tan x ) = x
La relation arctan x = Pi/4 reste la relation de base permettant d'obtenir des valeurs approchées de pi, depuis la célèbre "égalité" de Leibnitz (1673): pi/4 = arctan 1 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 -...
Bonne chance à tous !
Dernière édition par ksitov le Dim 4 Juil - 0:17, édité 1 fois