0.999...= 1

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    ksitov
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    0.999...= 1

    Message  ksitov le Sam 11 Sep - 18:50

    Bonjour à tous,

    Alors voici ce que je vous propose aujourd'hui.

    Est- ce que l'égalité 0.999... = 1 est vraie?

    Démontrez le de plusieurs façons (dont une très simple).


    Lavoisier
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    Re: 0.999...= 1

    Message  Lavoisier le Dim 12 Sep - 13:48

    Ah j'ai déjà vu cette démo quelque part...faut que je retrouve Smile

    Capuchon
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    Re: 0.999...= 1

    Message  Capuchon le Dim 12 Sep - 15:31

    Assez amusant, je viens de voir un exercice sur les suites qui était axé sur ce thème.
    Sais pas si c'est valide en tous cas...

    Soit (U(n)) une suite définie pour n appartenant à N* tel que :
    U(n) = 0.999 999 999 ... 999 (n nombres 9).
    On peut écrire :
    U(n) = V(1) + v(2) + ... + V(n) où (V(n)) est une suite géométrique définie sur N* comme suit:
    V(1)= 9 * 10^-1
    V(n+1) = V(n) * 10^-1

    On a ainsi avec q = 10^-1 :
    U(n) = SOMME(V(n)) = V(1) * ((1 - q^n) / (1 - q))
    = 9 * 10^-1 * ((1 - 10^-n) / (1 - 10^-1))
    = 9 * 10^-1 * ((1 - 10^-n) / (9 * 10^-1))
    U(n) = 1 - 10^-n

    D'où, lim(U(n)) = lim(1 - 10^-n) = 1 car lim(10^-n) = 0.

    cqfd ? Very Happy

    ksitov
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    Re: 0.999...= 1

    Message  ksitov le Dim 12 Sep - 22:32

    Parfait ! C'était la démonstration la plus dur à trouver =p !

    Je l'ai vu de façon similaire mais plus simple.

    Soit une suite (Un):

    U1 = 0.9
    U2 = 0.99
    U3 = 0.999
    .
    .
    .
    Un = 1 - 10^(-n)

    lim (Un) = 1

    D'où 0.999... = 1

    Pi
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    Re: 0.999...= 1

    Message  Pi le Dim 26 Juin - 16:15

    J'en ai une autre (pas encore trouvée apparemment, mais bien moins jolie ^^):

    1 = 1
    3/3 = 1
    3.1/3 = 1
    3.0,333333... = 1
    0,9999999... = 1

    Smile

    Physikaddict
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    Re: 0.999...= 1

    Message  Physikaddict le Dim 26 Juin - 16:32

    Pi a écrit:J'en ai une autre (pas encore trouvée apparemment, mais moins jolie ^^):

    1 = 1
    3/3 = 1
    3.1/3 = 1
    3.0,333333... = 1
    0,9999999... = 1

    Smile
    Salut,

    J'avais discuté de la validité de cette démo et en fait, elle n'est valable que si l'on a démontré au préalable que 1/3 = 0,333333. Ce qui revient au même problème qu'au départ...


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    Re: 0.999...= 1

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