DM Flocon de Von Koch

Bonjour tout le monde,

Suite à un post de Capuchon, j'ai cherché un DM que j'avais surement fait l'année dernière ou à peu près le même. Je l'ai trouvé sur un forum, le voici.

Sujet:
On construit une célèbre suite de polygones de la manière suivante. Po est un triangle équilatérale de côté 10(en cm). Le polygone étant construit avec des côtés de longueur ln, on obtient le polygone Pn+1 en remplaçant chaque côté par une ligne polygonale à quatre segments de longueur ln/3 comme l'indique la figure:



Questions:
1) Montrer que la suie formée par le nombre cn de côtés du polygone P est une suite géométrique. Exprimer cn en fonction de n.
2) Montrer que la suite des longueurs ln des côtés des polygones Pn est une suite géométrique. Exprimer ln en fonction de n.
3) ON désigne par pn le périmètre du polygone Pn. En déduire une expression de pn en fonction de n.
Montrer que la suite (pn) tend vers + infini.
4) On désigne par An l'aire du polygone Pn.
a) En examinant l'air ajouté lorsqu'on passe de Pn-1 à Pn, montrer que
An = An-1+ 3/4 Ao (4/9)^n.
b) En déduire que An= Ao[8/5 - 3/5 (4/9)^n ]. Calculer Ao.
c) Déterminer la limite de la suite (An).

On est censé le faire à la suite ? Je propose dans ce cas d'utiliser le spoiler. :D

Cette balise, vous la trouverez dans le bouton "autres" au dessus de votre fenêtre de rédaction, sous le bouton pour numéroter.

Cela permet d'afficher ou de masquer la réponse (il suffit de cliquer dessus), afin de laisser la possibilité aux autres membres de le chercher à résoudre le DM, sans avoir la solution immédiatement sous les yeux.

Spoiler:

Bah au pire les autres ils descendent pas
La tentation de cliquer sur le spoiler est trop tentante