Khôlle M01 [Terminée]

Bienvenue à ta première Khôlle de mathématiques niveau 1ère S.

Voici l'énoncé:

Une parabole d'équation: y = ax² + bx + c admet une tangente horizontale au point (-1;3) et passe par le point (1;1).

Déterminer les coefficients a , b et c.

Travailles bien !

Ah !

Content de cette première Khôlle, très sympathique ! :D

On inaugure en beauté

Alors, tout d'abord, la parbole passe par (1;1) donc
ax² + bx + c = 1 pour x = 1

D'où a+b+c = 1

Ensuite... Attaquons-nous à la tangente !
L'équation de la tangente T :

T : y = f'(a) (x-a) + f(a)

T : y = f'(a)x - af'(a) + f(a)

f'(a) est le coeff directeur, une tangente horizontale équivaut à un coeff nul d'où f'(-1) = 0.

Donc T : y = -af'(a) + f(a) soit T : y = f(a)

Or, la tangente passe par (-1;3) donc T : y = 3

D'où f(-1) = 3

On a alors a - b + c = 3

a + c = b + 3

On remplace dans l'égalité du début

3 + b + b = 1

2b = -2

b = -1

Et de un ! =D

Ensuite, penchons-nous sur la signification d'une tangente horizontale en un point w sur une parabole... Cela signifie tout simplement que w est le sommet de la parabole ! =)

Or, l'abscisse du sommet d'une parabole se retrouve avec -b/(2a)

Donc -b/(2a) = -1
1/(2a) = -1
-2a = 1
Ce qui nous amène à a = -1/2

Et de deux ! =)

Enfin on savait que a + c = 3 + b, soit a+c = 2

Donc en remplaçant a par sa valeur fraichement trouvée, on obtient c = 5/2

Et de trois ! Mission accomplie ! =))

a = -1/2
b = -1
c = 5/2

Merci Mickaël, géniale cette khôlle !

Oui, tout le blabla sur l'équation de la tangente, on va dire que c'est pour la déco !

Physikaddict a écrit:
Ensuite, penchons-nous sur la signification d'une tangente horizontale en un point w sur une parabole... Cela signifie tout simplement que w est le sommet de la parabole ! =)

Or, l'abscisse du sommet d'une parabole se retrouve avec -b/(2a)

Bon tu as bien réussi l'exercice.

Cependant, tu as dis ce que j'ai cité.

Donc maintenant, je te demande de:

Démontrer que si la tangente à un point de la parabole est horizontale alors ce point est le sommet de la parabole.

Il est effectivement tout à fait incorrect de ne pas l'avoir démontré.

Mais je croyais que c'était admis ( ). On va rebaptiser ceci le théorème de Physikaddict !

Alors, voici la démo :

La dérivée d'une fonction représentée par une parabole d'équation y = ax² + bx + c est f'(x) = 2ax + b

La tangente à la parabole sera horizontale uniquement si son coeff directeur est nul, c'est à dire si f'(x) = 0

Résolvons cette petite équation :

2ax + b = 0
2ax = -b
x = -b /(2a)

Donc la tangente est horizontale uniquement au point d'abscisse -b /(2a), ce qui correspond à l'abscisse du sommet de la parabole.

Donc, si la tangente à une parabole est horizontale en point w, alors ce point w est le sommet de la parabole. Et inversement !

=)

Bon boulot.

Cependant pour être rigoureux en calculant f'(x), tu as oublié de montrer que la fonction est dérivable mais cette fois ci, je laisse passer !

Khôlle M01 Terminée !

(A partir de maintenant, vous pouvez commenter la Khôlle)

Effectivement ! F dérivable sur IR (...).

F est dérivable sur |R comme fonction polynôme dérivable sur |R (x--> ax² + bx + c)