Bonjour,
Lavoisier m'a rappelé que je lui devais un exercice de trigonométrie, le voici. Cependant, mis à part la dernière partie, cet exercice n'a pas de vrai "but" : il est plutôt là pour aider à apprendre des formules de trigonométrie et à connaître leurs démonstrations.
Partie I : démonstrations d'analyse
1) Soient x une variable réelle et y une constante réelle. Montrer que exp(x) exp(y) = exp(x+y) (sans utiliser les puissances, bien entendu). On admettra par la suite que pour tout couple de complexes (z,z') on a exp(z) exp(z') = exp(z+z').
2) En déduire une démonstration de la formule de De Moivre.
3) Démontre le binôme de Newton.
Partie II : démonstrations relatives aux fonctions trigonométriques
Sous-partie 1 : démonstrations de formules usuelles
1) On admet que pour tout réel a, exp(ia) = cos a + i sin a. Démontrer les formules d'Euler.
2) Démontrer que pour tout couple de réels (a,b), on a cos(a+b) = cos a cos b - sin a sin b et que sin(a+b) = sin a cos b + sin b cos a.
3) En déduire des égalités pour cos 2a et sin 2a.
4) Démontrer que pour tout couple de réels (a,b), on a cos(a-b) = cos a cos b + sin a sin b et que sin(a-b) = sin a cos b - sin b cos a.
5) En déduire une égalité en fonction de cos(a+b), cos(a-b) et cos a cos b, puis une égalité en fonction de cos(a+b), cos(a-b) et sin a sin b.
Sous-partie 2 : étude de fonctions par analogie.
1) Montrer par analogie aux exponentielles que cos(x+2pi) = cos x et que sin(x+2pi) = sin x. En déduire que pour tout entier relatif k, cos(x+2kpi) = cos x et que sin(x+2kpi) = sin x.
2) Montrer par analogie aux exponentielles que sin x = cos(x+pi/2).
3) Montrer par analogie aux exponentielles que cos²x + sin²x = 1.
4) Montrer que sin(pi/2-x) = cos x. En déduire les solutions de l'équation sin x = cos x.
Partie III : applications
1) Linéariser cos^4(x). En déduire, pour tout entier naturel n, la linéarisation de cos^(4n)(x).
2) Linéariser cos^n(x).
3) Montrer que . Montrer que la limite de existe, et la conjecturer.
4) Soient a et b deux réels tels que a et b soient différents. Montrer que .
5) En déduire que . Peut-on déduire de cette intégrale que pour tout x non-multiple de pi/2, ? Démontrer cette propriété.
Il peut y avoir plusieurs heures de réflexion ! Bon courage à toi, et aux autres qui veulent s'y essayer.
Lavoisier m'a rappelé que je lui devais un exercice de trigonométrie, le voici. Cependant, mis à part la dernière partie, cet exercice n'a pas de vrai "but" : il est plutôt là pour aider à apprendre des formules de trigonométrie et à connaître leurs démonstrations.
Partie I : démonstrations d'analyse
1) Soient x une variable réelle et y une constante réelle. Montrer que exp(x) exp(y) = exp(x+y) (sans utiliser les puissances, bien entendu). On admettra par la suite que pour tout couple de complexes (z,z') on a exp(z) exp(z') = exp(z+z').
2) En déduire une démonstration de la formule de De Moivre.
3) Démontre le binôme de Newton.
Partie II : démonstrations relatives aux fonctions trigonométriques
Sous-partie 1 : démonstrations de formules usuelles
1) On admet que pour tout réel a, exp(ia) = cos a + i sin a. Démontrer les formules d'Euler.
2) Démontrer que pour tout couple de réels (a,b), on a cos(a+b) = cos a cos b - sin a sin b et que sin(a+b) = sin a cos b + sin b cos a.
3) En déduire des égalités pour cos 2a et sin 2a.
4) Démontrer que pour tout couple de réels (a,b), on a cos(a-b) = cos a cos b + sin a sin b et que sin(a-b) = sin a cos b - sin b cos a.
5) En déduire une égalité en fonction de cos(a+b), cos(a-b) et cos a cos b, puis une égalité en fonction de cos(a+b), cos(a-b) et sin a sin b.
Sous-partie 2 : étude de fonctions par analogie.
1) Montrer par analogie aux exponentielles que cos(x+2pi) = cos x et que sin(x+2pi) = sin x. En déduire que pour tout entier relatif k, cos(x+2kpi) = cos x et que sin(x+2kpi) = sin x.
2) Montrer par analogie aux exponentielles que sin x = cos(x+pi/2).
3) Montrer par analogie aux exponentielles que cos²x + sin²x = 1.
4) Montrer que sin(pi/2-x) = cos x. En déduire les solutions de l'équation sin x = cos x.
Partie III : applications
1) Linéariser cos^4(x). En déduire, pour tout entier naturel n, la linéarisation de cos^(4n)(x).
2) Linéariser cos^n(x).
3) Montrer que . Montrer que la limite de existe, et la conjecturer.
4) Soient a et b deux réels tels que a et b soient différents. Montrer que .
5) En déduire que . Peut-on déduire de cette intégrale que pour tout x non-multiple de pi/2, ? Démontrer cette propriété.
Il peut y avoir plusieurs heures de réflexion ! Bon courage à toi, et aux autres qui veulent s'y essayer.
Dernière édition par Ouille le Mer 6 Juil - 21:03, édité 1 fois