Intégrales (pour les 1ère S)

Vous avez déjà jeté un coup d'oeil aux cours de Terminale S et vous avez découvert ceci:



Waouh c'est beau ! Ça a l'air dur ! (CMB)

Vous voulez savoir comment ça marche? (vite fait)

Alors lisez ceci !

Tout d'abord parlons de primitives (Euh c'est quoi? Ça a un rapport avec les hommes primitifs? )

Rooh ! Mais non, c'est l'application inverse de la dérivée.

Un exemple:

La dérivée de x² c'est 2x.
Une primitive de 2x c'est x².

Pourquoi ai je dis: Une primitive et non pas La primitive?

Tout simplement car il y a une infinité de primitive.

Exemple:

La dérivée de x² + 1 c'est 2x. Donc une primitive de 2x c'est x²+1.

La dérivée de x²+ 1000 c'est 2x. Donc une primitive de 2x c'est x² + 1000.

La forme générale peut s'écrire x² + k.

Bon ok... Primitive, ok mais c'est quoi le rapport avec le symbôle bizarre?

En fait, on calcule une intégrale en faisant un calcul de primitive.

Sachez déjà que la fonction s'écrit: f(x) et sa primitive F(x).

Bon maintenant, c'est quoi le petit a et le petit b sur le symbôle bizarre?

C'est les Bornes de l'intégrale, car il faut savoir qu'une intégrale avant tout ça représente l'aire sous la courbe entre deux bornes.



Dans ce cas là:

S =

Bon maintenant la formule:

Bon maintenant, si on appliquait tout ce blabla?

Calculons:

I =

Donc on a f(x) = 2x, trouvons une primitive de f.

F(x) = x²

Appliquons la formule:

I = F(1) - F(0)
I = 1² - 0²
I = 1


Maintenant à vous d'intégrer !






PS: Vous vous demandez pourquoi le dx ? En fait c'est pour savoir la variable. Là dans notre cas la variable c'est x car f(x) si c'était t la variable ça aurait été f(t) et donc dt.

f(x) = 3 donc, par exemple,

F(x) = 3x
Donc F(2) = 6 et F(1) = 3

J = F(2) - F(1) = 3

:D

Passons à K ...

f(x) = x²
donc, par exemple, F(x) = 1/3 x^3

Enfin je crois ^^

Donc F(1) = 1/3 et F(2) = 8/3

K= F(2) - F(1) = 7/3

Happy ! :D

Merci beaucoup pour ce petit cours !

I'm Okay !

Very Well !

Merci aussi pour cette "Vision" comme tu dis bien intéressante. Cependant j'ai pleins de questions et remarques ! :D

Ksitov a écrit:Waouh c'est beau ! Ça a l'air dur ! (CMB)

Bon déjà... celle là... :D

Ksitov a écrit:

C'est intéressant qu'on puisse calculer une aire sous une courbe. J'avais déjà vu un truc similaire mais où le type calculait l'aire sous la courbe qui représentait la dérivée de la fonction. D'ailleurs, peut-on parler simplement d'aire "sous la courbe" ? Aire "sous la courbe au dessus de l'axe des abscisses" ne serait-il pas plus approprié ?
Outre cela, je suis curieux de connaître l'envers de cette formule. Tu peux nous la démontrer ?

Ksitov a écrit:

J'aimerais bien connaître aussi la signification de ce "d". Certes on a "x" ou "t" pour la variable mais finalement, qu'est-ce que "d" (ou "dx")?

Ksitov a écrit:PS: Vous vous demandez pourquoi le dx ? En fait c'est pour savoir la variable. Là dans notre cas la variable c'est x car f(x) si c'était t la variable ça aurait été f(t) et donc dt.

Bon OK, à la limite. Ce serait donc pour dire "le truc après "d" c'est le nom de la variable". Mais est-ce vraiment utile ? Enfin, ce que je veux dire, c'est que dans une formule telle que celle ci :



Avec f(x), est-il utile de préciser que x est la variable ? Dans quel cas est-ce utile ?

Physikaddict a écrit:Pleins de trucs

Toi qui prônais l'usage de la balise [spoil].. Tu pourras penser à l'utiliser la prochaine fois ? :D

Physikaddict a écrit:F(x) = 1/3 x^3

Ah et je pourrais aussi te demander d'utiliser les parenthèses même si là normalement il ne devrait pas y avoir de doutes ; un instant j'ai pensé que tu écrivais "F(x) = (1) / (3 x^3)".
Tiens à ce propos ça m'a bluffé de voir que tu connaissais "d'instinct" le fait que pour une fonction sa dérivée était . Tu connaissais déjà "l'astuce" ou tu l'as trouvé seul, naturellement ?
ça me fait penser à Gauss qui à 7 ans pour se divertir mettait au point son théorème sur la somme des termes consécutifs d'une suite arithmétique. Rhâ ! Y'a des génies tout de même. :D


Enfin, dernière question (:D) (ça m'embête un peu de la poser d'ailleurs. Doit-on se poser ce genre de questions en mathématiques ?) quelles sont les applications que l'on peut trouver aux intégrales ? A quoi diable est-ce que ça sert de connaître l'aire sous la courbe ?!

Je suis également curieux de la démonstration A moins que cela ne soit "admis" en niveau TS ?

Aie ! Mea Culpa ! Désolé Capuchon, dans l'excitation et l'empressement, j'ai effectivement oublié le spoil...

Pour te répondre, non, je ne connaissais pas l'astuce, je l'ai trouvé tout seul, par déduction. (=

Ça me fait penser à une blague de maths : tu es fier de ton niveau en maths parce que tu comprends toutes les mathématiques manipulées par Gauss... jusqu'à ses 13 ans.
Ce mec était tout simplement brillant ! :D

Je t'écris ce qu'il y a marqué dans mon cours:

Théorème fondamental du calcul intégral.

Soit f une fonction continue sur un intervalle I, a et b étant deux réels de I. Alors:



où F est une primitive quelconque de f sur I.

Démonstration:

Si f est continue sur I, d'après le théorème précédent la fonction G(x) = Int [0,x] f(t) dt est une primitive de f sur I. On a G'(x) = f(x) et G(a) = 0.
Si F est une primitive quelconque de f sur I:

pour tout x appartient à I; G(x) = F(x) + k

or G(a) = 0 donc k = -F(a), ainsi G(x) = F(x)- F(a) et en particulier: G(b) = F(b) - F(a), que l'on peut écrire,

G(b) =

Un peu compliqué la démonstration...

Et pour l'histoire de dx et dt, ça dépend.

Regarde l'intégrale que j'ai fais, de 0 à x pourtant la variable c'est dt. C'est un peu bizarre, je sais.

Et en fait une intégrale c'est l'aire entre l'axe des abscisses et la courbe et entre deux droite x = a et x = b.

Cependant il faut que la fonction soit positive, si elle est négative, il va falloir bidouiller l'intégrale.

Ksitov a écrit:Je t'écris ce qu'il y a marqué dans mon cours:

Théorème fondamental du calcul intégral.

Démonstration....

Merci pour ta réponse mais un autre truc me chagrine.
Il me semble que tu as dégagé une condition selon laquelle G(a) = 0 ; d'où sors cela ?
Quand bien même, si l'on regarde tes exemples précédents :

Ksitov a écrit:

On a pour J par exemple (et arrêtez-moi si je me trompe ) j(x) = 3 et sa primitive J(x) = 3x avec les bornes a = 1 et b = 2.
Or J(a) = J(1) = 3 != 0

Faisons-nous dans l'erreur depuis le début où il y a-t-il quelque chose que j'ai raté ? Ce qui est fortement probable.

Ksitov a écrit:Et en fait une intégrale c'est l'aire entre l'axe des abscisses et la courbe et entre deux droite x = a et x = b.

Cependant il faut que la fonction soit positive, si elle est négative, il va falloir bidouiller l'intégrale.

Ah, merci pour ces précisions.

Ksitov a écrit:Regarde l'intégrale que j'ai fais, de 0 à x pourtant la variable c'est dt. C'est un peu bizarre, je sais.

Effectivement... Oui en effet. :D Et puis bon, je ne vais pas cracher sur quelque chose qui nous explicite d'autres choses dans des formules "compliquées". :D

Physikaddict a écrit:Pour te répondre, non, je ne connaissais pas l'astuce, je l'ai trouvé tout seul, par déduction. (=

Eh bien, je suis impressionné ! (et jaloux aussi :D) Bravo !

EDIT : Et quand bien même... Je ne comprends pas pourquoi le fait de calculer G(b) revient à calculer l'aire sous la courbe...

Bonjour,

Là ce n'est pas J(x), c'est J tout court... C'était juste pour donner un nom à l'intégrale xD.

Par contre si tu veux, tu peux appelés la fonction qu'il y a dans l'intégrale j(x), donc j(x) = 3 donc une primitive est 3x.

Donc maintenant tu fais la différence des primitives:

J = J(2) - J(1) = 3*2 - 3*1 = 3

J = 3


En fait pour expliquer cette histoire d'aire. Enfin fait une intégrale est une somme d'aire... Enfin vous verrez la partie Théorique par vous même xD. Voilà une image qui illustre:

A quoi sert les intégrales?

A calculer des aires, des volumes et également en probabilité !

(En tout cas en Terminale on voit ces trois choses).

En probabilité ça sert pour les lois continues c'est à dire quand on cherche par exemple la probabilité que pour le jeu des fléchettes, de tirer sur une certaine zone... Donc en gros ça équivaut à calculer l'aire de la zone à toucher...