0.999...= 1

Bonjour à tous,

Alors voici ce que je vous propose aujourd'hui.

Est- ce que l'égalité 0.999... = 1 est vraie?

Démontrez le de plusieurs façons (dont une très simple).

Ah j'ai déjà vu cette démo quelque part...faut que je retrouve

Assez amusant, je viens de voir un exercice sur les suites qui était axé sur ce thème.
Sais pas si c'est valide en tous cas...

Soit (U(n)) une suite définie pour n appartenant à N* tel que :
U(n) = 0.999 999 999 ... 999 (n nombres 9).
On peut écrire :
U(n) = V(1) + v(2) + ... + V(n) où (V(n)) est une suite géométrique définie sur N* comme suit:
V(1)= 9 * 10^-1
V(n+1) = V(n) * 10^-1

On a ainsi avec q = 10^-1 :
U(n) = SOMME(V(n)) = V(1) * ((1 - q^n) / (1 - q))
= 9 * 10^-1 * ((1 - 10^-n) / (1 - 10^-1))
= 9 * 10^-1 * ((1 - 10^-n) / (9 * 10^-1))
U(n) = 1 - 10^-n

D'où, lim(U(n)) = lim(1 - 10^-n) = 1 car lim(10^-n) = 0.

cqfd ?

Parfait ! C'était la démonstration la plus dur à trouver =p !

Je l'ai vu de façon similaire mais plus simple.

Soit une suite (Un):

U1 = 0.9
U2 = 0.99
U3 = 0.999
.
.
.
Un = 1 - 10^(-n)

lim (Un) = 1

D'où 0.999... = 1

J'en ai une autre (pas encore trouvée apparemment, mais bien moins jolie ^^):

1 = 1
3/3 = 1
3.1/3 = 1
3.0,333333... = 1
0,9999999... = 1

Pi a écrit:J'en ai une autre (pas encore trouvée apparemment, mais moins jolie ^^):

1 = 1
3/3 = 1
3.1/3 = 1
3.0,333333... = 1
0,9999999... = 1

Salut,

J'avais discuté de la validité de cette démo et en fait, elle n'est valable que si l'on a démontré au préalable que 1/3 = 0,333333. Ce qui revient au même problème qu'au départ...