Exercice: Intégrale Double

Bonjour,

Voici un exercice bien sympathique sur les intégrales.
On utilise les intégrales double pour calculer une intégrale simple appelée: Intégrale de Gauss.



Bonne chance !

Spoiler:

Aucune rigueur, dans ce que je fais, mais j'en ai pas les moyens et je voulais pas que ce post soit laissé sans réponse. :D

ksitov a écrit:Bonjour,

Voici un exercice bien sympathique sur les intégrales.
On utilise les intégrales double pour calculer une intégrale simple appelée: Intégrale de Gauss.



Bonne chance !

Dans la question 1), on veut calculer Ia.

Déjà, on va se demander qu'est ce qu'est l'ensemble Da.

C'est un disque de rayon a. (car x²+y² = a² est un cercle de rayon a et comme là on veut x²+y² < a² alors c'est un disque).

Donc ça, ça va être utile pour les bornes.

Ensuite, on a: f(x,y) = e^(-x²-y²)

Une technique qu'on utilise de temps en temps avec les intégrales doubles est le passage en polaire.
On pose: x = rcos(teta) et y = rsin(teta).

Donc on a: f(rcos(teta),rsin(teta)) = e^(-r²)

Donc l'intégrale double va devenir:

Intégrale double de e^(-r²)*r*dr*d(teta)

Car le dxdy en polaire devient rdrd(teta).

Puis bon ensuite on trouve les bornes en utilisant le domaine. Et puis on calcule.

Bref... Il faut un niveau sup pour faire ça. (c'est juste la méthode qui manque sinon c'est pas très dur).

Mais c'est bien d'avoir tenté !

Et pour la 3, tu as raison ! On va finir par utiliser le théorème des gendarmes.