Ouille Mar 28 Juin - 14:06Bonjour,
On m'a demandé de résoudre un exercice :
"Soit f une fonction dérivable sur R de dérivée f' continue et bornée sur R. Montrer que si f est intégrable sur R, alors les limites aux infinis de f sont égales à zéro."
Tout d'abord, les cas sont les mêmes en plus l'infini et en moins l'infini, on va donc se contenter de le faire en plus l'infini et de calquer cela sur moins l'infini.
La fonction f étant continue, on note F la primitive de f qui s'annule en 0. Si la fonction est intégrable, alors toute intégrale de f dont les bornes sont incluses dans R+ converge, donc F converge. La limite de F étant une constante, elle admet une asymptote horizontale en plus l'infini et étant donné que f = dF/dx, la limite en plus l'infini de f est égale à zéro.
Même raisonnement sur R-, la limite en moins l'infini de f est égale à zéro.
Bref, je voulais savoir s'il n'y avait pas de faille dans mon raisonnement. Merci d'avance !
On m'a demandé de résoudre un exercice :
"Soit f une fonction dérivable sur R de dérivée f' continue et bornée sur R. Montrer que si f est intégrable sur R, alors les limites aux infinis de f sont égales à zéro."
Tout d'abord, les cas sont les mêmes en plus l'infini et en moins l'infini, on va donc se contenter de le faire en plus l'infini et de calquer cela sur moins l'infini.
La fonction f étant continue, on note F la primitive de f qui s'annule en 0. Si la fonction est intégrable, alors toute intégrale de f dont les bornes sont incluses dans R+ converge, donc F converge. La limite de F étant une constante, elle admet une asymptote horizontale en plus l'infini et étant donné que f = dF/dx, la limite en plus l'infini de f est égale à zéro.
Même raisonnement sur R-, la limite en moins l'infini de f est égale à zéro.
Bref, je voulais savoir s'il n'y avait pas de faille dans mon raisonnement. Merci d'avance !
